Площади плоских фигур: квадрат, прямоугольник, ромб,
параллелограмм, трапеция, четырёхугольник,
прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник,
равносторонний треугольник, произвольный треугольник,
многоугольник, правильный шестиугольник,
круг, сектор, сегмент круга. Формула Герона.
 








Произвольный треугольник. a, b, c – стороны; a – основание; h – высота;

A, B, C – углы, противоположные сторонам a, b, c ; p = ( a + b + c ) / 2.


Последнее выражение называется формулой Герона.



Многоугольник, площадь которого нужно определить, может быть разделён своими диагоналями на несколько треугольников. Многоугольник, описанный около круга ( рис.67 ), может быть разделён прямыми, идущими из центра круга к его вершинам. Тогда получаем:



В частности, эта формула справедлива для любого правильного многоугольника. 

Правильный шестиугольник. a – сторона.

Круг. D – диаметр; r – радиус.



Сектор ( рис.68 ). r – радиус; n – величина центрального угла в градусах; l – длина дуги.


Сегмент ( рис.68 ). Площадь сегмента определяется как разность между площадями сектора AmBO и треугольника AOB. Кроме того, есть приближённая формула для площади сегмента:

где a = AB ( рис.68 ) – основание сегмента; h – его высота ( h = r – OD ). Относительная погрешность этой формулы: при AmB = 60° – около 1.5% ; при AmB = 30° - ~ 0.3%.



П р и м е р . Вычислить площади сектора AmBO ( рис.68 ) и сегмента AmB

при следующих данных: r = 10 см, n = 60°.



Р е ш е н и е . Площадь сектора:

Площадь правильного треугольника AOB:

Отсюда, площадь сегмента:

 

S = S1 – S2 = 52.36 – 43.30 = 9.06 см 2 .



Заметим, что в правильном треугольнике AOB:

 AB = AO = BO = r, AD = BD = r / 2 , и поэтому высота OD

в соответствии с теоремой Пифагора равна:
 
Тогда, по приближённой формуле получим: