Что такое решение уравнения?


Тождественное преобразование. Основные виды тождественных преобразований.

Посторонний корень. Потеря корня.


 
Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием. Основные тождественные преобразования следующие:

 
Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида:  
   
ax + b = 0,   
   
где a и b – известные числа, а x – неизвестная величина.  
Решить уравнение – значит найти численное значение неизвестного x , при котором это уравнение обращается в тождество.  
Если  a  не равно нулю (  a  ≠  0  ), то решение (корень) уравнения имеет вид:  
 
Если a = 0, то возможны два случая:  
 
1. b = 0, тогда 0 · x + 0 = 0. Здесь x может быть любым числом ( проверьте ! ).  
 
2. b ≠ 0, тогда 0 · x + b = 0. Здесь нет решений ( проверьте и это!).  
   
 
 лежащие выражения: x² + 2x = x² – 2x + x – 2 . Перенесём  
   все члены в левую часть уравнения. После приведения  
  подобных членов получим: 3x + 2 = 0, откуда x = – 2 / 3 br />

Решение неприведенного квадратного уравнения.
Решение приведенного квадратного уравнения.
  В общем случае для неприведенного квадратного уравнения:
 
ax 2 + bx + c = 0 ,

его корни находятся по формуле:

Если разделить все члены неприведенного квадратного уравнения на a ( это возможно? ), и обозначить b / a = p и c / a = q , то мы получим приведенное квадратное уравнение:


x 2 + px + q = 0 ,

корни которого вычисляются по формуле:


П р и м е р . x  2  + 5x + 6 = 0 . Здесь p = 5, q = 6. Тогда имеем:
 

отсюда, x1= – 5 / 2 + 1 / 2 = – 2 , x2 = – 5 / 2 – 1 / 2 = – 3 .

Свойства корней квадратного уравнения.
Дискриминант. Теорема Виета.

  Формула корней неприведенного квадратного уравнения:
 

показывает, что возможны три случая:

1) b 2 – 4 a c > 0 , тогда имеются два различных корня;

2) b 2 – 4 a c = 0 , тогда имеются два равных корня;

3) b 2 – 4 a c < 0 , тогда имеются два комплексных корня.

Выражение b 2 – 4 a c, от значения которого зависит, какой случай имеет место, называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается через D.

Теорема Виета.Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px+ q = 0 равна коэффициенту при первой степени неизвестного, взятому с обратным знаком:
 
x1 + x2 = – p ,

а произведение равно свободному члену:

x1 · x2 = q .br />

  Каждый квадратный трехчлен ax 2 + bx+ c может быть разложен на множители  первой степени следующим образом.
  Решим квадратное уравнение:
 
ax 2 + bx+ c = 0 . 

Если x1 и  x2 - корни этого уравнения, то

ax 2 + bx+ c = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) .

  Это можно доказать, используя либо формулы корней неприведенного квадратного уравнения, либо теорему Виета.
  ( Проверьте это, пожалуйста! ) . 
 
 
  П р и м е р . Разложить трехчлен 2x  2  – 4x – 6 на множители первой степени.

  Р е ш е н и е .  Во-первых, решим уравнение: 2x 2 – 4x – 6 = 0. Его корни:
    x1 = –1 и x2 = 3. Отсюда, 2x 2 – 4x – 6 = 2 ( x + 1 ) ( x – 3 ) . 
  ( Раскройте скобки и проверьте, пожалуйста, результат! ).

Уравнения высших степеней, приводимые к квадратному.
Биквадратное уравнение. Кубическое уравнение.

1.	Некоторые виды уравнений высших степеней можно решить, используя квадратное уравнение. Иногда можно разложить левую часть уравнения на множители, каждый из которых является многочленом не выше второй степени. Тогда, приравнивая каждый из них к нулю и решая все эти квадратные и / или линейные уравнения, мы получим все корни исходного уравнения. П р и м е р . Решить уравнение: 3x 4 + 6x 3 – 9x 2 = 0 . Р е ш е н и е . Разложим левую часть этого уравнения на множители: x 2 ( 3x 2 + 6x – 9 ) . Решим уравнение: x 2 = 0; оно имеет два корня: x1 = x2 = 0 . Теперь решим уравнение: 3x 2 + 6x – 9 = 0, и получим: x3 = 1 и x4 = – 3 . Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня: x1 = x2 = 0 ; x3 = 1 ; x4 = – 3 .
2.	Если уравнение имеет вид: ax2n + bxn + c = 0 , оно приводится к квадратному уравнению заменой: xn = z ; действительно, после этой замены получаем: az 2+ bz + c = 0 . П р и м е р . Рассмотрим уравнение: x 4 – 13 x 2 + 36 = 0 . После замены: x 2 = z получим уравнение: z 2 – 13 z + 36 = 0 . Его корни: z1 = 4 и z2 = 9. Теперь решаем уравнения: x 2 = 4 и x 2 = 9 . Они имеют соответственно корни: x1 = 2 , x2 = – 2 , x3 = 3 ; x4 = – 3 . Эти числа являются корнями исходного уравнения ( проверьте, пожалуйста! ). Любое уравнение вида: ax 4 + bx 2 + c = 0 называется иквадратным Оно приводится к квадратному уравнению заменой: x2 = z . П р и м е р . Решить биквадратное уравнение: 3x 4 – 123x 2 + 1200 = 0 . Р е ш е н и е . Заменяя: x 2 = z , и решая уравнение: 3z 2 – 123z + 1200 = 0, получаем: отсюда, z1 = 25 и z2 = 16. Используя нашу замену, получим: x 2 = 25 и x 2 = 16, отсюда, x1 = 5, x2 = – 5, x3 = 4, x4 = – 4.
3.	Кубическое уравнение – это уравнение третьей степени вида: ax3 + bx2 + cx + d = 0 . Известные формулы Кардано для решения уравнений этого типа очень сложны и почти не применяются на практике. Поэтому мы рекомендуем другой путь для решения уравнений третьей степени. 1). Сначала путём перебора найдём один из корней уравнения. Дело в том, что кубические уравнения всегда имеют по крайней мере один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена d. Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что искомый корень лежит среди небольших целых чисел, таких как: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому мы будем искать корень среди этих чисел и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность успеха при таком подходе очень высока. Предположим, что этот корень x1 . 2). Вторая стадия решения – это деление многочлена ax 3+ bx 2+ cx+ d на двучлен x – x1. Согласно теореме Безу (см. раздел «Деление многочлена на линейный двучлен») это деление без остатка возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет!) оставшиеся два корня. П р и м е р . Решить уравнение: x 3 – 3x 2 – 13x + 15 = 0 . Р е ш е н и е . Ищем первый корень перебором чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3 и подстановкой в уравнение. В результате находим, что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двучлен x – 1, и получаем: Теперь, решая квадратное уравнение: x 2 – 2x – 15 = 0, находим оставшиеся два корня: x1 = – 3 и x2 =5 .

Самый распространённый, а иногда и единственно возможный метод решения уравнений с модулем – раскрытие модуля согласно определению:

Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль при x = –4 и x = 5. Значит, нужно рассмотреть 3 случая: 1) x ≤ –4; 2) –4 < x ≤ 5; 3) x > 5. Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение. На рисунке схематично показано, какой знак будут иметь подмодульные выражения на каждом из трёх промежутков. 1 Рисунок 3.1.8.1 x ≤ –4. В этом случае 2x + 8 < 0, x – 5 < 0. Следовательно, С учётом этого уравнение принимает вид x = –25 удовлетворяет ограничению x ≤ –4. –4 < x ≤ 5. Этот корень удовлетворяет нужным ограничениям. 3. x > 5. Этот корень не удовлетворяет нужным ограничениям. Ответ. −25; 3.

Этому уравнению соответствуют два уравнения 2(x2 + 2x – 5) = x – 1 и 2(x2 + 2x – 5) = 1 – x, среди корней которых нужно отобрать удовлетворяющие условию x ≥ 1. Имеем: 1. Корни этого уравнения и x = –3, из которых подходит первый корень. 2. Корни этого уравнения Опять подходит только первый корень, так как второй заведомо отрицателен. Ответ.

Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений которые можно переписать в виде () Аналогично, каждое из этих уравнений распадается на два: что приводит к четырём уравнениям: Отсюда получаем 4 решения: среди которых содержатся корни исходного уравнения. 1-й корень, очевидно, удовлетворяет уравнению. Это проверяется легко. 2-й и 3-й не походят, так как правая часть исходного уравнения при этих значениях отрицательна. 4-й корень тоже является лишним, так как этот корень должен удовлетворять уравнению (), а при этом значении его правая часть отрицательна. Ответ. 3.