Многоугольник. Вершины, углы, стороны и диагонали
многоугольника. Периметр многоугольника.
Простой многоугольник. Выпуклый многоугольник.
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.


Плоская фигура, образованная замкнутой цепочкой отрезков, называется многоугольником. В зависимости от количества углов многоугольник может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником, шестиугольником и т.д. На рис.17 показан шестиугольник ABCDEF. Точки А, В, C, D, E, F – вершины


многоугольника; углы A , B , C , D, E , F – углы многоугольника; отрезки AC, AD, BE и т.д. - диагонали; AB, BC, CD, DE, EF, FA – стороны многоугольника; сумма длин сторон AB + BC + … + FA называется периметром и обозначается p (иногда обозначают – 2p, тогда p – полупериметр). В элементарной геометрии рассматриваются только простые многоугольники, контуры которых не имеют самопересечений, как показано на рис.18. Если все диагонали лежат внутри многоугольника, он называется выпуклым. Шестиугольник на рис.17 выпуклый; пятиугольник ABCDE на рис.19 не выпуклый, так как его диагональ AD лежит снаружи. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º ( n – 2 ), где n - число углов (или сторон) многоугольника.

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма.

Прямоугольник. Основные свойства прямоугольника. Ромб.

Квадрат. Трапеция. Средние линии трапеции и треугольника.



Параллелограмм ( ABCD, рис.32 ) – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.



Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями, а расстояние между ними – высотой ( BE, рис.32 ).



Свойства параллелограмма.



1. Противоположные стороны параллелограмма равны ( AB = CD, AD = BC ).



2. Противоположные углы параллелограмма равны ( A = C, B = D ).



3. Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам ( AO = OC, BO = OD ).



4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон:

 
AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD² .



Признаки параллелограмма.



Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

 

1. Противоположные стороны попарно равны ( AB = CD, AD = BC ).

 

2. Противоположные углы попарно равны ( A = C, B = D ).

 

3. Две противоположные стороны равны и параллельны ( AB = CD, AB || CD ).



4. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам ( AO = OC, BO = OD ).



Прямоугольник.

br />
Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые ( почему ?). Такой параллелограмм называется прямоугольником ( рис.33 ) .



 

Основные свойства прямоугольника.



Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.



Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.



Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон ( см. выше теорему Пифагора ):



AC 2 = AD 2 + DC 2 .



Ромб. Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом ( рис.34 ) .

 





Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ( AC BD ) и делят их углы пополам ( DCA = BCA, ABD = CBD и т.д. ).



Квадрат – это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами ( рис.35 ). Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно; поэтому он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

r />
Трапеция - это четырёхугольник, у которого е противоположные сто роны параллельны ( рис.36 ).





Здесь AD || BC. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие ( AB и CD ) – боковыми сторонами. Расстояние между основаниями ( BM ) есть высота. Отрезок EF, соединяющий средние точки E и  F

боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

и параллельна им: EF || AD и EF || BC.



Трапеция с равными боковыми сторонами ( AB = CD ) называется равнобочной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны ( A = D, B = C ).

Параллелограмм может рассматриваться как частный случай трапеции.



Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половинего основания и параллельна ему. о свойство вытекает из предыдущего

пункта, так как треугольник может рассматриваться как случай вырождения трапеции, когда одно из её оснований превращается в точку.

Вписанный в круг многоугольник.

Описанный около круга многоугольник.

Описанный около многоугольника круг.

Вписанный в многоугольник круг.

Радиус вписанного в треугольник круга.

Радиус описанного около треугольника круга .
Правильный многоугольник.

Центр и апофема правильного многоугольника.
Соотношения сторон и радиусов правильных многоугольников.

 



Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности рис.54 ). Описанным около круга называется ногоугольник, стороны которого являются касательными к окружности

( рис.55 ).

Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника ( рис.54 ), называется описанной около многоугольника; окружность, для которой стороны многоугольника являются касательными ( рис.55 ), на зывается вписанной в многоугольник. Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника это всегда возможно.

Радиус r вписанного круга выражается через стороны a, b, c треугольника:

Радиус R описанного круга выражается формулой:

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Для параллелограммов это возможно только для ромба ( квадрата ). Центр вписанного круга расположен в точке пересечения диагоналей. Около четырёхугольника можно описать круг, если сумма его противоположных углов равна 180º. Для параллелограммов это возможно только для прямоугольника ( квадрата ). Центр описанного круга лежит в точке пересечения диагоналей. Вокруг трапеции можно описать круг, если только она равнобочная.r />

Правильный многоугольник то многоугольник с равными сторонами и углами.



На рис.56 показан правильный шестиугольник, а на рис.57 – правильный восьмиугольник. Правильный четырёхугольник – это квадрат; правильный треугольник – равносторонний треугольник. Каждый угол правильного многоугольника равен 180º ( n – 2 ) / n , где n – число его углов. Внутри правильного многоугольника существует точка O ( рис. 56 ), равноудалённая от всех его вершин ( OA = OB = OC = … = OF ), которая называется центром правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника также равноудалён от всех его сторон ( OP = OQ = OR = … ). Отрезки OP, OQ, OR, … называются апофемами; отрезки OA, OB, OC, …– радиусы правильного многоугольника. В правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром правильного многоугольника. Радиус описанного круга - это радиус правильного многоугольника, a радиус вписанного круга - его апофема. Соотношения сторон и радиусов правильных многоугольников:



Для большинства правильных многоугольников невозможно выразить посредством алгебраической формулы соотношение между их сторонами и радиусами.



П р и м е р . Можно ли вырезать квадрат со стороной 30 см из круга

диаметром 40 см?



Р е ш е н и е . Наибольший квадрат, заключённый в круг, есть вписанный

квадрат. В соответствии с вышеприведенной формулой его

сторона равна:

 

Следовательно, квадрат со стороной 30 см невозможно вырезать

из круга диаметром 40 см.