Тригонометрические уравнения. Основные методы решений



Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции,
называется тригонометрическим.




Простейшие тригонометрические уравнения.








Методы решения тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше )

и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.

Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.



1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры



( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:


П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3.

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо: а) перенести все его члены в левую часть; б) вынести все общие множители за скобки; в) приравнять все множители и скобки нулю; г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 , корни этого уравнения: y1 = -1, y2 = -3, отсюда 1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

При решении систем тригонометрических уравнений мы используем те же методы, что и в алгебре ( замены, подстановки, исключения и т.д. ), а также известные методы и формулы тригонометрии. Рассмотрим некоторые примеры.

П р и м е р 1 . Решить систему уравнений:

П р и м е р 2 . Решить систему уравнений:

Р е ш е н и е . Складывая и вычитая эти два уравнения, получим:


  Рассмотрим отдельно каждую из ветвей второго уравнения: