Квадратные уравнения
Если второй коэффициент в полном квадратном уравнении четный, т.е. $$b=2m$$ , то рекомендуется вычислять $$\frac{1}{4}D$$ :
$$ax^{2}+2mx+c=0$$
$$\frac{1}{4}D=m^{2}-ac$$
$$x_{1,2}=\frac{-m\pm \sqrt{\frac{1}{4}D} }{a}$$
Было бы здорово вовремя распознавать в квадратном уравнении полный квадрат.Например:
$$9x^{2}-6x+1=0\Rightarrow (3x-1)^{2}=0\Rightarrow 3x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}$$
Если же перед нами неполное квадратное уравнение, то не надо его решать через дискриминант!Например:
1) $$x^{2}-2x=0$$ вынесем общий множитель за скобку
$$x(x-2)=0$$ произведение равно 0 если один из множителей равен 0
$$x=0$$ или $$x=2$$
2) $$x^{2}-3=0$$
$$x^{2}=3$$
$$x_{1,2}=\pm \sqrt{3} $$
№566
В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы.
Найдите гипотенузу.
Решение.
Пусть длина гипотенузы равна 6 см, тогда один катет равен (х-3)см, а другой катет (х-6)см.
Зная, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, составим уравнение где х>6:
$$(x-3)^{2}+(x-6)^{2}=x^{2}$$
$$x^{2}-6x+9+x^{2}-12x+36=x^{2}$$
$$x^{2}-18x+45=0$$
$$\frac{1}{4}D=m^{2}-ac=81-45=36=6^{2}$$
$$x_{1,2}=\frac{-m\pm \sqrt{D} }{a}$$
$$x_{1}=\frac{9+6 }{1}=15$$
$$x_{2}=\frac{9-6 }{1}=3<6$$ не удовлетворяет условию задачи.
Ответ. 15 см
В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы.
Найдите гипотенузу.
Решение.
Пусть длина гипотенузы равна 6 см, тогда один катет равен (х-3)см, а другой катет (х-6)см.
Зная, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, составим уравнение где х>6:
$$(x-3)^{2}+(x-6)^{2}=x^{2}$$
$$x^{2}-6x+9+x^{2}-12x+36=x^{2}$$
$$x^{2}-18x+45=0$$
$$\frac{1}{4}D=m^{2}-ac=81-45=36=6^{2}$$
$$x_{1,2}=\frac{-m\pm \sqrt{D} }{a}$$
$$x_{1}=\frac{9+6 }{1}=15$$
$$x_{2}=\frac{9-6 }{1}=3<6$$ не удовлетворяет условию задачи.
Ответ. 15 см
Теорема Виета
Решим уравнение $$\frac{2}{x^{2}-4} +\frac{1}{2x-x^{2}} =\frac{4-x}{x^{2}+2x} $$ .
Решение:
Разложим знаменатели дробей на множители
$$x^{2}-4=(x-2)(x+2)$$
$$2x-x^{2}=-x(x-2)$$
$$x^{2}+2x= x (x+2) $$
Наименьший общий знаменатель равен $$x(x-2)(x+2)$$ , где $$x\neq 0$$ , $$x\neq \pm 2$$ .
$$\frac{2}{(x-2)(x+2)} -\frac{1}{x(x-2)} =\frac{4-x}{x (x+2)}$$ $$| \cdot x(x-2)(x+2) $$
$$2x-(x+2)=(x-2)(4-x)$$
$$2x-x-2=4x-x^{2}-8+2x$$
$$x^{2}-5x+6=0$$
$$D=b^{2}-4ac=25-24=1>0$$ два корня
$$x_1+x_2=5$$
$$x_1\cdot x_2=6$$
$$x_1=2$$ не удовлетворяет требованию $$x\neq 2$$
$$x_2=3$$
Ответ. 3.
Решение:
Разложим знаменатели дробей на множители
$$x^{2}-4=(x-2)(x+2)$$
$$2x-x^{2}=-x(x-2)$$
$$x^{2}+2x= x (x+2) $$
Наименьший общий знаменатель равен $$x(x-2)(x+2)$$ , где $$x\neq 0$$ , $$x\neq \pm 2$$ .
$$\frac{2}{(x-2)(x+2)} -\frac{1}{x(x-2)} =\frac{4-x}{x (x+2)}$$ $$| \cdot x(x-2)(x+2) $$
$$2x-(x+2)=(x-2)(4-x)$$
$$2x-x-2=4x-x^{2}-8+2x$$
$$x^{2}-5x+6=0$$
$$D=b^{2}-4ac=25-24=1>0$$ два корня
$$x_1+x_2=5$$
$$x_1\cdot x_2=6$$
$$x_1=2$$ не удовлетворяет требованию $$x\neq 2$$
$$x_2=3$$
Ответ. 3.
№1
Решите уравнения:
а) $$2x^{2}+7x-9=0$$ ;
б) $$3x^{2}=18x$$ ;
в) $$100x^{2}-16=0$$ ;
г) $$x^{2}-16x+63$$ .
№2
Периметр прямоугольника равен 20 см.
Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см2.
№3
В уравнении х2 + рх - 18 = 0 один из его корней равен -9.
Найдите другой корень и коэффициент р.
№4
Решите уравнения:
а) $$\frac{x^{2} }{x^{2} -9} =\frac{12-x}{x^{2} -9}$$ ;
б) $$\frac{6}{x-2} +\frac{5}{x}=3$$ .
№5
Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км,
а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км.
Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же
на обратный путь затратил времени на 10 мин меньше, чем на путь из А в В.
С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?
Решите уравнения:
а) $$2x^{2}+7x-9=0$$ ;
б) $$3x^{2}=18x$$ ;
в) $$100x^{2}-16=0$$ ;
г) $$x^{2}-16x+63$$ .
№2
Периметр прямоугольника равен 20 см.
Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см2.
№3
В уравнении х2 + рх - 18 = 0 один из его корней равен -9.
Найдите другой корень и коэффициент р.
№4
Решите уравнения:
а) $$\frac{x^{2} }{x^{2} -9} =\frac{12-x}{x^{2} -9}$$ ;
б) $$\frac{6}{x-2} +\frac{5}{x}=3$$ .
№5
Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км,
а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км.
Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же
на обратный путь затратил времени на 10 мин меньше, чем на путь из А в В.
С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?
Уравнения сводящиеся к квадратным
Клиентам
Репетиторам
Партнеры