Курс: Алгебра 8 класс, дистанционный курс, алгебра, 8 класс, математика: Урок 10. Формула корней квадратного уравнения

Чтобы пройти курс - зарегистрируйтесь, заполнив поля ниже.

Решение полных квадратных уравнений часто приводите к громоздким вычислениям, поэтому поступим по-другому Вдумчивый

Решим уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ в общим виде и получим формулы.
Эти формулы надо будет запомнить и с помощью них решать любое полное квадратное уравнение Одобрить

Запиши тему урока

"Формула корней квадратного уравнения".

Записывай все в тетрадь - хорошо пойми объяснение!

Чтобы решить полное квадратное уравнение, надо выделить полный квадрат:

$ax^{2}+bx+c=0$ поделим левую и правую части уравнения на $a$

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} =0$

$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

$x^{2}+2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

$x^{2}+2\cdot \frac{b}{2a}x=-\frac{c}{a}$ прибавим к левой и правой части $(\frac{b}{2a})^{2}$ и получим

$x^{2}+2\cdot \frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^{2}=(\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}$ в левой части уравнения теперь"квадрат 1-ого числа + удвоенное произведение 1-ого и 2-ого числа плюс квадрат второго числа", т.е. полный квадрат двучлена!

$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}$ две дроби в правой части уравнения, приведем к общему знаменателю

$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$

$x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$ корень из знаменателя равен $2a$ , поэтому

$x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$ приведем их к одному знаменателю

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$

Вот и получили формулу по которой теперь будем решать полные квадратные уравнения Вдумчивый

Итак, при решении квадратных уравнений $ax^{2}+bx+c=0$ мы будем использовать формулу корней квадратного уравнения:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$

Выражение стоящее под корнем называют дискриминант и обозначают буквой $D$
$D=b^{2}-4ac$

Если $D<0$ то уравнение не имеет корней в действительных числах.

Если $D=0$ то уравнение имеет один корень $x=\frac{-b}{2a}$

Если $D>0$ то уравнение имеет два различных корня $x_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a}$ и $x_2=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a}$

Заучи эти формулы наизусть! Вдумчивый

№1
Решим квадратное уравнение $3x^{2}-x+2=0$

$a=3$ , $b=-1$ , $c=2$

Дискриминант $D=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\cdot 3\cdot 2=1-24=-23<0$ поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ. решения нет.
№2
Решим квадратное уравнение $2x^{2}+7x-4=0$

$a=2$ , $b=7$ , $c=-4$

Дискриминант $D=b^{2}-4ac=7^{2}-4\cdot 2\cdot (-4)=49+32=81>0$ поэтому уравнение два различных корня.

Применим формулу $x=\frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a}$ получим

$x_1=\frac{-7+\sqrt{81} }{2\cdot 2}=\frac{-7+9 }{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0,5$

$x_2=\frac{-7-\sqrt{81} }{2\cdot 2}=\frac{-7-9 }{4}=\frac{-16}{4}=-4$

Ответ. 0,5 и -4.
№3
Решим квадратное уравнение $x^{2}+14x+49=0$

$a=1$ , $b=14$ , $c=49$

Дискриминант $D=b^{2}-4ac=14^{2}-4\cdot 1\cdot 49=0$ поэтому уравнение имеет один корень.

$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-14}{2\cdot 1}=-7$

Ответ. -7.

Заполни таблицу:

№ п/п	Уравнение $ax^{2}+bx+c=0$	$a$	$b$	$c$	$b^{2}-4ac$	Количество корней	Корни уравнения
1	$x^{2}-5x+4=0$	1	-5	4	$(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 4=4$	два	$x_1=\frac{5+\sqrt{4} }{2\cdot 1}=3,5$ и $x_2=\frac{5-\sqrt{4} }{2\cdot 1}=1,5$
2	$x^{2}+6x+8=0$
3	$2x^{2}+3x-2=0$
4	$-x^{2}+7x+18=0$
5	$-2x^{2}+7x-3=0$
6	$\frac{1}{2}x^{2}-2=0$
7	$-3x^{2}+\frac{1}{3}=0$
8	$5x^{2}-x=0$
9	$x^{2}-6x+9=0$

Подведение итогов

Поздравляем, вы прошли тест до конца!

Теперь нажмите на кнопку Сдать тест для того, чтобы окончательно сохранить ваши ответы и получить оценку.
Внимание! После нажатия на кнопку вы не сможете внести изменения.

Сдать тест

Подведение итогов

%
ваша оценка

Результаты теста были сохранены.
На панели навигации красным отмечены слайды, на которых допущена хотя бы одна ошибка.

Из-за блокировщика рекламы некоторые функции на сайте могут работать некорректно! Пожалуйста, отключите блокировщик рекламы на этом сайте.

Чтобы пройти курс - зарегистрируйтесь, заполнив поля ниже.

Подведение итогов

Подведение итогов

Загрузка упражнения ...