Курс: АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА 10, : Повторение. Решение линейных и нелинейных систем уравнений

Примеры решения систем уравнений

Уравнение вида $$ax+by=c$$, где x и у – переменные, а $$a$$, $$b$$, $$c$$ – данные числа, называют линейным уравнением с двумя переменными. Любую пару чисел, обращающую такое уравнение в верное числовое равенство, называют решением этого уравнения.

Например, пары чисел $$(-1;3)$$, $$(0;\frac{1}{2})$$ являются решениями уравнения $$5x+2y=1$$, так как обращают его в верные числовые равенства, а пары $$(1;0$$), $$(-2;3)$$ не являются его решениями, поскольку не обращают уравнение в верное равенство.

Два уравнения с двумя переменными, рассматриваемые совместно, образуют систему двух уравнений с двумя переменными. Приведем примеры систем уравнений с двумя переменными:

$$\left\{\begin{array}{rcl}2x+y=6\\4x-3y=4\\\end{array}\right$$

$$\left\{\begin{array}{rcl}x-y=5\\xy=6\\\end{array}\right$$

$$\left\{\begin{array}{rcl}4x^2-5xy+3y^2=16\\6x^2-xy+y^2=8\\\end{array}\right$$

Решением системы называют пару значений переменных, которая обращает в верное числовое равенство каждое уравнение этой системы.

Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй и обратно.

В процессе решения системы ее последовательно заменяют другой, равносильной ей, системой. При этом множество решений этих систем не меняется.

Рассмотрим на примерах некоторые способы решения систем уравнений.

Способом подстановки систему двух уравнений с двумя переменными решают по следующему плану.

1. Из одного уравнения системы выражают одну из переменных через другую переменную и известные величины.

2. Найденное выражение подставляют во второе уравнение системы, получают уравнение относительно другой переменной.

3. Решают полученное уравнение и находят значение этой переменной.

4. Подставляя найденное значение в выражение первой переменной, получают соответствующее ее значение.

5. Записывают ответ.

Пример 1. Решите систему уравнений способом подстановки:

$$\left\{\begin{array}{rcl}5x-3y=-7\\2x+y=-5\\\end{array}\right$$

Решение. Из второго уравнения системы выразим $$y$$ через $$x$$: $$y=-5-2x$$. Полученное выражение подставим в первое уравнение системы: $$5x-3(-5-2x)=-7$$, откуда $$11x=-22$$, $$x=-2$$. Подставив значение $$x$$ в выражение $$y=-5-2x$$, получим значение $$y$$: $$y=-5-2\cdot(-2)$$, $$y=-1$$.

Ответ: $$(-2;-1)$$.

Из-за блокировщика рекламы некоторые функции на сайте могут работать некорректно! Пожалуйста, отключите блокировщик рекламы на этом сайте.

Повторение. Решение линейных и нелинейных систем уравнений