Один из основных методов решения уравнений - метод разложения на множители. Также разложение на множители требуется при сокращении дробей, что позволяет серьезно упростить вид выражений с переменными. Поэтому становится ясным, что умение раскладывать выражения на множители является одним из основных технических приоритетов в алгебре.
Итак, что же значит разложить выражение на множители. Все на самом деле очень просто.
Разложить выражение на множители - значит заменить данное выражение тождественно равным ему выражением, в котором последним действием выполняется (записано) умножение.


Технических способов для выполнения таких действий не очень много, а именно:

вынесение общего множителя за скобку;
группировка (по сути то же вынесение общего множителя за скобку, с той лишь разницей, что выполняется зачастую дважды, причем в конечном случае за скобку выносится некоторое выражение);
использование формул сокращенного умножения;
использование формулы разложения квадратного трехчлена на множители;
комбинирование всех ранее перечисленных методов.

Напомним распределительный закон умножения относительно сложения.
Чтобы умножить сумму на число можно каждое слагаемое умножить на это число, а полученные произведения сложить.


.

В обратной записи этот закон и дает нам правило вынесение общего множителя за скобки:


.

Остается только заметить, что закон верен для любого конечного числа слагаемых в алгебраической сумме.

Пример 1.(бытовой) :-)
Если в магазине куплено 5 шоколадок по 25 рублей и пять коробок конфет по 175 рублей, то сумму заплаченную за покупку можно посчитать двумя способами.
Первый - так, как пробьют на кассе: .
Однако, если под рукой нет ни листа бумаги, ни калькулятора, то самостоятельно прикинуть стоимость покупки заранее можно иначе. Раз вы купили одинаковое число и шоколадок и коробок конфет, то можно рассматривать такую покупку, как покупку 5 наборов из одной шоколадки о одной коробки конефет. В этом случае подсчет будет выглядеть следующим образом: .
Таким образом: .

Итак, распределительный закон умножения относительно сложения или вычитания, как и все другие законы действий в математике, используется для упрощения процесса вычисления.

Пример 2.
Используя распределительный закон умножения вычислите: .
Решение:
.

Задание 1.
Используя распределительный закон умножения вычислите: .

Мы вспомнили на основании какого закона арифметики выносится за скобку общий множитель.
Рассмотрим теперь пару алгебраических примеров.

Пример 3.

Найдите значение выражения: при , .

1) Выполним преобразование данного выражения, вынеся за скобки общий множитель:


.

2) Подставим в полученное выражение данные значения переменных:






Задание 2.

Найдите значение выражения: при , .

Пример 4.
Разложите на множители выражение: .

Решение:
Вынесем в последнем слагаемом выражения минус за скобку, получим общий множитель для всех трех слагаемых выражения, который и будет вынесен за скобку:
.

Задание 3.

Разложите на множители выражение: .

Предыдущие примеры вплотную подводят нас к следующему способу разложения целых выражений на множители, который называется группировкой. Способ этот основан на использовании распределительного закона сложения в комбинации с переместительным и сочетательным. Напомним, что переместительный и сочетательный законы сложения позволяют переставлять и группировать слагаемые в сумме в любом порядке. Таким образом мы можем подбирать среди нескольких слагаемых группы, имеющие общие множители и выносить их за скобки поэтапно. Вот как это выглядит:
Пример 5.
Разложите на множители многочлен: .
Решение:
1) Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку.
.
2) Заметим, что мы получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель . Повторно используя распределительный закон умножения вынесем теперь его за скобку.
.

Полная запись решения выглядит так:


Далее попробуем поэтапно вспомнить и закрепить этот прием.

Пример 6.
Разложите на множители выражение: .
Решение:
.

Задание 4:
Разложите на множители выражение: .

Задание 5.
Разложите на множители многочлен: .

Вспомним, как используются для разложения на множители формулы сокращенного умножения. Первая из них - формула разности квадратов:



Пример 7.
Разложите на множители многочлен: .
Решение:
.

Задание 6.
Разложите на множители многочлен: .

Задание 7.
Разложите на множители многочлен: .

Рассмотрим следующий пример.
Пример 8.
Разложите на множители выражение: .
Решение:



Задание 8.
Разложите на множители выражение: .

Еще пару нюансов при применении этой формулы.
Первый.
Пример 9.
Представьте в виде произведения выражение: .
Решение:
.


Задание 9.
Представьте в виде произведения выражение: .

Нюанс второй.
Пример 10.
Разложите на множители выражение: .

Решение:



Задание 10.
Разложите на множители выражение: