Решение уравнений и неравенств

Решение неравенств.

1. Решение целых рациональных неравенств

Если в неравенстве функции и заданы целыми рациональными выражениями, то его называют целым рациональным неравенством.

Если неравенство привести к равносильному и разложить левую часть на линейные множители, то такое неравенство можно решить методом интервалов.

Суть этого метода в следующем:

· Перенести все слагаемые в левую часть и решить уравнение, приравняв выражение в левой части к нулю;

· Найденные корни уравнения нанести на числовую ость. Эти корни разбивают числовую ось на промежутки, на каждом из которых выражение, стоящее в левой части, сохраняет знак;

· Выбрать в каждом из промежутков какое-нибудь значение («пробную» точку) и определить знак выражения в этой точке;

· Выбрать промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак и записать ответ, взяв их объединения.

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Уравнение имеет четыре корня ; ; и . Эти числа разбивают числовую ось на пять промежутков:

 Выбрав в каждом промежутке контрольную точку, определим знак функции, стоящей слева нашего неравенства. Неравенство выполняется в промежутках:

Замечание. Если все множители в левой части имеют первую степень, то остаточно найти знак в каждом промежутке, а потом учесть, что она меняет знак при переходе от одного промежутка к соседнему, и нарисовать «кривую знаков». Если эта кривая расположена выше оси абсцисс, левая часть неравенства положительна, а там, где эта кривая расположена ниже оси абсцисс, левая часть неравенства отрицательна.

Замечание. Однако метод интервалов дал бы неверный результат, если бы среди корней многочленов были кратные корни, а это значит, что в левой части неравенства не только линейные множители.

2. Решение дробно-рациональных неравенств

 Дробно рациональные неравенства можно привести к равносильному неравенству , тогда метод интервалов применим и для решения дробно-рациональных неравенств.

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде:

,

не является корнем левой части неравенства, поэтому равносильное последнему неравенству будет следующее:

при .

 С помощью «пробных» точек найдем знак выражения в каждом промежутке, которые были получены, когда мы нанести на числовую ось числа 1, 2 и 5, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

 Выпишем интервалы, где выполняется неравенство:

.

3. Неравенства, содержащие знак модуля.

Одним из методов решения неравенств, содержащих знак модуля, является метод промежутков, который был рассмотрен при решении уравнений с модулем.

Разобъем числовую ось точками, в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля.

Выбирая на этих промежутках контрольные точки, проверяем, удовлетворяется ли на них заданное неравенство или нет. Ответом к задаче служит объединение промежутков, где выполняется данное неравенство.

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Разобъем числовую ось точками и на промежутки , и .

Рассмотрим промежуток . Взяв контрольную точку, например, , убеждаемся, что и , заменяя модули, получаем равносильное неравенство:

.

После элементарных упрощений получаем . Значит, решением неравенства на рассматриваемом промежутке является множество .

Перейдем на следующий промежуток . Взяв контрольную точку , убеждаемся, что и . Неравенство упрощается:

, , .

Решением неравенства является множество .

Перейдем к последнему промежутку . Убедимся, что на нем и . Неравенство равносильно следующему:

,  ,  ,  .

 Получили решение . Осталось объединить решения, полученные в трех случаях: =.

Примеры решения квадратных неравенств

1) 2x² + x + 3 > 0

D = 1 – 4 × 2 × 3 < 0, корней нет, знак решаемого неравенства совпадает со знаком старшего коэффициента.

Ответ: R.

2) –x² + 2x + 3 ³ 0

d = D = 1 + 3 = 4 > 0

Находим корни: x² – 2x – 3 = 0, x₁ = –1, x₂ = 2.

Мысленно представляем себе график и сопоставляем его с заданным неравенством.

Ответ: [–1; 2].

Можно, конечно, сначала преобразовать данное неравенство, добившись того, чтобы старший коэффициент стал положительным: x² – 2x – 3 £ 0.

3) 3x² – 4x + 2 < 0

d = 2² – 2 × 3 < 0, корней нет. Левая часть всегда положительна.

Ответ: Æ (решений нет).

4) 4x² – 12x + 9 £ 0

d = 6² – 4 × 9 = 0, корень (левая часть является полным квадратом
(2x – 3)²). Левая часть во всех остальных точках положительна.

Ответ: .

5) 2x² + 5x – 7 > 0

Дискриминант можно не считать – надо сразу видеть, что трехчлен имеет два корня. Один угадывается (x = 1), второй находится по теореме Виета x₁ = –, x₂ = 1.

Старший коэффициент положителен. Записываем ответ.

Ответ: .

Ответы можно записывать и в виде неравенств x < –, x > 1.

6) (x – 3)(2x + 3) ³ 0

Разумеется, не нужно перемножать скобки. Вся информация о поведении квадратичной функции в левой части очевидна.

Корни: x₁ = –, x₂ = 3 (не забывайте сначала писать меньший корень).

Знак старшего коэффициента: +.

Представляем мысленно график и записываем ответ, не забыв включить в него корни.

Ответ: .

7) x² + (x + 1)² > 0

Никаких преобразований делать не надо. В левой части стоит сумма двух квадратов, которая, конечно, неотрицательна. В нуль она обратиться не может, так как это могло быть только в случае, когда каждый из квадратов равен нулю, что одновременно невозможно.

Ответ: R.

8) –x² + 4x – 4 < 0

x² – 4x + 4 > 0

(x – 2)² > 0

Ответ: x ¹ 2, или (–¥ ; 2) È (2; +¥ ).

Если у Вас остались вопросы по теме "Решение квадратных неравенств" и Вы хотите подготовиться к ГИА по математике, то рекомендуем Вам обратиться за помощью к онлайн репетитору по алгебре.

Задачи для самостоятельного решения

Карточка 1	Карточка 2
Карточка 3	Карточка 4